I. История арифметических прогрессий
Прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределением продуктов, делением наследства и другими. В древнерусском сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка земли и т.д. В развитие теории о прогрессиях внесли вклад такие ученые, как Пифагор Самосский, Ариабхата, Боэций, Леонардо Пизанский (Фибоначчи), Карл Гаусс, Пьер Ферма, Никола Шюке.
Слово «прогрессия» (лат. Progressio) означает «движение вперед» (как слово «прогресс»), встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI вв.). Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед (ок. 287-212 гг. до нашей эры). Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, например, последовательность натуральных чисел, их квадратов, кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестал быть общеупотребительным.
Ариабхата I (476— ок. 550) — индийский астроном и математик. Ариабхата написал два сочинения: первое и единственное дошедшее до нас – «Ариабхатиам», второе – комментарии к астрономическому сочинению «Сурьясиддханта», это сочинение не сохранилось. «Ариабхатиам», написанный в стихах, состоит из четырех частей: первая посвящена системам обозначения чисел, вторая – математике, третья и четвертая носят преимущественно астрономический характер, хотя они содержат математические сведения. В этом сочинении также приведены правила суммирования рядов треугольных чисел, натуральных квадратов и кубов, натуральных чисел, хотя это было известно грекам и вавилонянам. Ариабхата был хорошо знаком с различными свойствами арифметической прогрессии. Он знал формулы для общего члена, суммы и числа членов.
Термин "прогрессия" был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке).
Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н. э.).
Правило для нахождения
суммы членов произвольной арифметической
прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202 году, автором
которой являлся Леонардо Пизанский.
В 1484
году увидела свет рукопись французского бакалавра медицины Никола Шюке «Наука о
числах в трёх частях», в которой он, в частности, сопоставляет произведение
членов арифметической прогрессии и сумму членов геометрической прогрессии,
предвосхищая логарифмы, предлагает число считать корнем первой степени из себя
самого, а также использует отрицательные и нулевой показатели степени.
В XVII веке,
например, Джон Грегорн употребил вместо прогрессии термин «ряд», другой
английский математик Джон Валлис применил для бесконечных рядов термин
«бесконечные прогрессии». В настоящее время мы
рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.
Английский
математик французского происхождения Абрахам де Муавр родился 26 мая 1667
года в Витри-лэ-Франсуа, в семье врача. Занимаясь научной деятельностью, Муавр
в 1707 году вывел формулу, носящую его имя. Она служила для возведения в
степень и извлечения корней комплексных чисел, заданных в тригонометрической
форме. Кроме того, он первым начал использовать возведение в степень
бесконечных рядов. Муавр, помимо анализа, внес еще большой вклад и в теорию
вероятностей.
Но самое удивительное то, что с помощью математических
расчетов он предсказал дату своей смерти. В престарелом возрасте обнаружил, что
продолжительность его сна растёт на 15 минут в день. Муавр составил арифметическую прогрессию, он высчитал,
когда он достигнет 24 часов. Конечно, он не ошибся… Умер талантливый математик
в Лондоне 27 ноября 1754года.
Известна интересная история о знаменитом немецком математике Карле Фридрихе Гауссе (30.04.1777 – 23.02.1855), который в детстве проявлял выдающиеся способности к математике. Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50×101=5050. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Ему принадлежат формулировка и доказательства множества свойств и теорем математики. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 года Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле.
В 1924
году благодаря поддержке Дж. М. Кейнса стал преподавателем
Королевского колледжа Кембриджа. Читал лекции по математике, в дальнейшем стал
заведующим учебной части по направлению математики.
Теорема,
доказанная Рамсеем в 1930 году, была названа его именем позже возник
отдельный раздел математики — теория Рамсея. Умер 19 января 1930
года в результате неудачной операции, повлёкшей инфекционный
гепатит.
Теория Рамсея и
арифметические прогрессии
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой
разность между соседними членами остается постоянной. Например, 7, 10, 13, 16 —
это арифметическая прогрессия, в которой разность между соседними членами равна
трем.
Из теории Рамсея следует такое утверждение об арифметических прогрессиях: если каждое число от 1 до 9 покрасить в красный или синий цвет, то либо три синих числа, либо три красных образуют арифметическую прогрессию. Чтобы доказать это утверждение, мы могли бы проверить все 512 способов раскраски девяти чисел. Но мы можем доказать его, рассмотрев только два случая. Начнем со случая, в котором 4 и 6 имеют одинаковый цвет, скажем синий.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Чтобы избежать синей арифметической прогрессии 4, 5, 6. мы покрасим 5 в
красный цвет. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Чтобы избежать синих арифметических прогрессий 2,4,6 и 4,6,8, мы
покрасим 2 и 8 в красный цвет. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Но тогда у нас получится красная арифметическая прогрессия 2, 5, 8. Итак, если 4 и 6 имеют одинаковый цвет, то всегда получится либо красная, либо синяя арифметическая прогрессия. Теперь рассмотрим случай, когда 4 и 6 имеют различный цвет. Число 5 можно покрасить как угодно, не создав при этом арифметической прогрессии, так что мы произвольно покрасим 5 в красный цвет.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Продолжим раскрашивание следующим образом:
Тогда получим последовательность: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Но в ней все равно осталась
красная арифметическая прогрессия 1,5,9. Таким образом, независимо от того, в
одинаковый или в разные цвета окрашены 4 и 6, всегда имеется либо синяя, либо
красная арифметическая прогрессия.
Комментариев нет:
Отправить комментарий