Древние задачи

  Древние задачи

     Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.                         Древнейшая задача на прогрессии – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в египетском папирусе Ринда, который назван в честь человека, нашедшего его в конце 19 века. Этот папирус составлен около двух тысяч лет до нашей эры. На нем записано очень много различных задач.

Одна из них такая:

100 мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько мер нужно дать каждому?

Решение:
Количества хлеба, полученные людьми, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член равен х, а разность d равна у, тогда
х
х+у
х+2у
х+3у
х+4у.
Получаем уравнение х+( х+у) +( х+2у) + ( х+3у) + ( х+4у) = 100.
Так как двое первых получили в 7 раз меньше, чем остальные трое, то получим уравнение
7( х+ х+у) = ( х+2у) + ( х+3у) + ( х+4у).
Запишем систему и решим ее.
х+2у=20,
11х=2у.
значит, хлеб разделен следующим образом: 1²/₃, 10⁵/₆, 20, 29¹/₆, 38¹/₃.

Задача 2. 10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?

Решение:

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины (1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6, 5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d. 2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

Задача 3.

Из руководства по математике «Задачи для изощрения ума юношей», Алкуин (около 735-804 гг.).

Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит один голубь, на второй – два, на третьей – три, так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?

Решение:

Алкуин так находит сумму этой прогрессии: на 1-й и 99-й ступенях сидят всего 100 голубей, на 2-й и 98-й тоже 100 и так далее. Только 50-я и 100 ступень останется без пары.

То есть на лестнице 49*100+50+100=5050 голубей.

 Ответ: 5050 голубей. 

Задача 4.

Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (1703г.).

Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки?

Решение:

Ответ: 462.

Задача 5.

В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород, если путь начинается и кончается у колодца?

Решение:

Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь: 14 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 14 = 65 м. При поливке второй он проходит 14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 14 = 65 + 5 = 70 м. Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию: 65, 70, 75, ...; 65 + 5 × 29. Сумма ее членов равна ((65 + 65 + 29 × 5) × 30)/2 = 4125 м. Таким образом, огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

Ответ: 4125 м.